Phase field and Cosserat simulation of recrystallization in polycrystals
Modélisation de la recristallisation dans les polycristaux par un modèle couplé champ de phase et milieu de Cosserat
Abstract
Thermomechanical treatment of crystalline materials induces significant microstructural changes that must be understood in order to control the resulting macroscopic properties. In particular, recrystallization, i.e. the nucleation and growth of grains with low dislocation density, is of industrial interest for microstructure optimization during metal forming. Despite its importance, the modelling of this phenomenon remains fragmentary. While numerous models have been developed to efficiently simulate the growth phase (Monte-Carlo Potts, cellular automata, level sets, phase-fields, etc.), the simulation of nucleation traditionally involves the ad hoc introduction of new spherical or circular grains linked to a critical value of strain, stress or dislocation density. It is therefore necessary to develop models that spontaneously account for the appearance of new grains.During thermomechanical processes, the (visco)plastic deformation of the material can lead to a significant reorientation of the crystal lattice and a heterogeneous distribution of orientations can appear within grains that are initially homogeneously oriented. At the mesoscopic scale, these phenomena are well accounted for by models of crystal plasticity. An enriched description of matter, such as that of Cosserat continua, also allows size effects to be taken into account. In this theory, additional degrees of freedom are introduced in the form of microrotations, which can be identified with the rotations of the crystal lattice by means of internal constraints. We propose new analytical solutions to the problems of torsion of an isotropic elastic-plastic cylinder and shear of a single crystal. For the latter, different formulations of the free energy potential exploring various dependencies on the curvature-torsion tensor are studied.Among the available grain growth models, only the two-phase-field approach proposed by Kobayashi-Warren-Carter (KWC) can model an intragranular orientation gradient induced by deformation. Since phase-field models are based on a thermodynamic formulation, coupling to mechanics via the free energy potential is particularly straightforward. The full-field mesoscopic model used in this work, developed by Ask et al., thus combines Cosserat crystal plasticity and the KWC phase-field model of grain growth. One of the features of the model studied is the inclusion of inelastic relaxation behaviour at the grain boundary in addition to the (visco)plastic deformation of the grain. Therefore, the choice of the relaxation function on the formation and movement of grain boundaries is investigated. In particular, the existence of a threshold stress in the relaxation function is shown to potentially hinder the formation and movement of grain boundaries.We also show through finite element simulations that KWC-type models can spontaneously simulate the nucleation of new (sub)grains due to the presence of crystal orientation gradients. A three-dimensional torsional calculation of a single-crystal copper rod with a circular cross section of axis [111] shows the nucleation of subgrains along the rod due to lattice orientation gradients induced by mechanical loading. This observation is qualitatively confirmed by comparison with experimental results on the torsion of an aluminium single crystal obtained by M.E. Kassner.
Les traitements thermomécaniques des matériaux cristallins provoquent d'importants changements microstructuraux qu'il convient de maitriser pour contrôler les propriétés macroscopiques qui en résultent. En particulier, la recristallisation, i.e la germination et croissance de grains possédant une faible densité de dislocations, est d'intérêt industriel pour l'optimisation de microstructures lors la mise en forme des métaux. Malgré son importance, la modélisation de ce phénomène reste parcellaire. En effet, si de nombreux modèles ont été développés afin de reproduire efficacement la phase de croissance (méthodes de Monte-Carlo Potts, automates cellulaires, level-sets, champs de phase…) , la simulation de la germination passe traditionnellement par l'introduction ad hoc de nouveaux grains sphériques ou circulaires en lien avec une valeur critique de déformation, contrainte ou densité de dislocation. Il convient donc de développer des modèles rendant compte spontanément de l'apparition de nouveaux grains.Lors des procédés thermomécaniques, la déformation (visco)plastique du matériau peut engendrer une réorientation importante du réseau cristallin et une distribution hétérogène d'orientation peut apparaître au sein de grains initialement orientés de façon homogène. À l'échelle mésoscopique, ces phénomènes sont bien pris en compte par des modèles de plasticité cristalline. Une description enrichie de la matière, telle que celle des milieux de Cosserat, permet en outre de prendre en compte des effets de taille. Dans cette théorie, des degrés de liberté additionnels de microrotations sont introduits et peuvent être identifiées aux rotations du réseau cristallins par le biais de contraintes internes. Nous proposons de nouvelles solutions analytiques aux problèmes de la torsion d'un cylindre en elastoplasticité isotrope et du cisaillement d'un monocristal. Pour ce dernier, différentes formulations du potentiel d'énergie libre explorant diverses dépendances vis-à-vis du tenseur de courbure-torsion sont étudiées.Parmi les modèles de croissance de grains, seule l'approche à deux champs de phases proposée par Kobayashi-Warren-Carter (KWC) peut modéliser un gradient d'orientation intragranulaire induit par la déformation. Les modèles à champs de phase s'appuyant sur une formulation thermodynamique, le couplage avec la mécanique via le potentiel d'énergie libre est particulièrement aisé. Le modèle mésoscopique en champs complets utilisé dans cette thèse, développé par Ask et al., combine ainsi la plasticité cristalline des milieux de Cosserat et le modèle à champs de phase de croissance de grains de KWC. Une des particularités du modèle étudié est d'ajouter à la déformation (visco)plastique du grain un comportement inélastique de relaxation du joint de grain. L'influence du choix de la fonction de relaxation aux joints de grain sur la formation et le mouvement de ceux-ci est ainsi étudié. En particulier, il est montré que la présence d'une contrainte seuil dans la fonction de relaxation peut ralentir la formation et le mouvement des joints.Nous montrons également par des simulations aux éléments finis que les modèles de type KWC peuvent simuler de façon spontanée de la germination de nouveaux (sous)grains en raison de la présence de gradients d'orientation cristalline. Un calcul tridimensionnel de torsion d'une barre monocristalline de cuivre à section circulaire d'axe [111] montre ainsi la formation de sous-grains le long de la barre en raison du développement d'un gradient d'orientation du réseau dû au chargement. Cette observation est confortée qualitativement par une comparaison aux résultats expérimentaux sur la torsion d'un monocristal d'aluminium obtenus par M.E. Kassner.
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